Впервые использовать дроби начали на территории Египта и Вавилона. Подход математиков двух государств имел значительные отличия. Однако начало и там и там было положено одинаково. Первой дробью стала половина или 1/2. Дальше возникла четверть, треть и так далее. Согласно данным археологических раскопок, история возникновения дробей насчитывает около 5 тысяч лет. Впервые доли числа встречаются в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.

Древний Египет

Понятие «Аликвотные дроби» является достаточно интересной темой для исследования дробей.
Аликвота – это латинское слово aliquoties, что означает «несколько раз; несколько частей»
Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.
Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики “настоящими “ считали только аликвотные дроби. Это дроби вида 1/n.
Египтяне все дроби записывали как суммы долей. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными дробями. Но даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,
1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Какова же основная причина появления этих дробей? Это была необходимость разбить единицу на доли. Например:
1. Чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2. Чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».
Вывод: Египетская дробь в математике - это сумма нескольких аликвотных дробей вида 1/n. Или другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Сформулируем алгоритм записи аликвотных дробей:

1. числитель и знаменатель исходной дроби умножаем на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя;
2. затем полученную дробь заменяем суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители – это слагаемые вышеупомянутой суммы.
3. если знаменатель - простое число, то умножаем числитель и знаменатель на число, превышающее знаменатель на единицу.

Приведем авторские примеры разложения обыкновенных дробей в виде суммы аликвотных дробей с разным числом слагаемых:

1 пример:

1/21=10/210=7/210 + 3/210 = 1/30 + 1/70 ( т.к. 7 + 3 = 10)

2 пример:

1/13=14/182=1/182 + 13/182 = 1/182 + 1/14 ( т.к. 13 + 1 = 14)

3 пример:

1/2002=38/76076=14/76076 + 11/76076 + 13/76076 = 1/5434 + 1/6916 + 1/5852 ( т.к. 14 + + 11 + 13 = 38)

Древний Вавилон

История возникновения дробей в Вавилонском царстве напрямую связана с особенностями системы счисления, доставшейся древнему государству в наследство от предшественника, шумеро-аккадской цивилизации. Расчетная техника в Вавилоне была удобнее и совершеннее, чем в Египте. Математика в этой стране решала гораздо больший круг задач. Судить о достижениях вавилонян сегодня можно по сохранившимся глиняным табличкам, заполненным клинописью. Благодаря особенностям материала они дошли до нас в большом количестве. По мнению некоторых ученых, математики в Вавилоне раньше Пифагора открыли известную теорему, что, несомненно, свидетельствует о развитии науки в этом древнем государстве. Вавилонская система не исчезла вместе с государством. Дробями, написанными в 60-тиричной системе, пользовались античные и арабские астрономы и математики.
Происхождение шестидесятеричной системы неясно.
Попробуем рассмотреть гипотезы появления шестидесятеричных дробей.
1. По одной гипотезе (И. Н. Веселовский), она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
2. По другой гипотезе считается, что с тем, что окружность делится циркулем на шесть частей.
3. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927г) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей.
Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас шестидесятеричную систему применяют при измерении углов и времени.
Я думаю, что наиболее вероятной гипотезой является первая, потому что каждый человек с детства привыкает считать при помощи десяти пальцев обеих рук. Так скорей всего было и в древние времена…
Однако используемое сейчас десятичное счисление не является самым удобным. Например, в некоторых отношениях удобнее была бы двенадцатеричная система, которая, не требуя для изображения чисел большого числа цифр, обладает важным свойством, что основание ее делится без остатка на 2, 3, 4 и на 6, тогда как основание нашей, привычной нам десятичной системы делится только на 2 и на 5.
Какова структура шестидесятеричного числа?
Первый шестидесятеричный знак после запятой называется минута (′), второй — секунда (″). Ранее использовались названия терция (‴) для третьего знака, кварта (IV) для четвёртого знака, квинта (V) для пятого знака и т. д. Название «минута» происходит от того же слова, что и «минимум» — обозначает «малая часть», а «секунда», «терция» и остальные являются порядковыми — «второе» деление на части, «третье» деление на части и т. п. Частей традиционно берётся по 60.
С какой целью использовались клинописные таблички в Древнем Вавилоне ?
Астроном и историк науки Матье Оссендрайвер из Берлинского университета имени Гумбольдта обнаружил на ранее не изученных вавилонских клинописных табличках, датированных 350 — 50 годами до н.э., описание нетривиального геометрического метода вычисления положения Юпитера. В нем использованы концепции, впервые появившиеся в современной науке лишь в середине XIV века, а затем ставшие краеугольным камнем математического анализа.
Исследователи пришли к выводу, что весь корпус клинописных табличек описывает астрономические наблюдения за движением планеты Юпитер по эклиптике (большому кругу небесной сферы, по которому происходит видимое годичное перемещение Солнца), которая ассоциировалась у древних вавилонян с их верховным божеством Мардуком.

Выяснилось, что хотя все данные в табличках были выражены арифметически, они предполагали нетривиальную геометрическую модель движения планеты. Эта модель описывала ежедневное перемещение Юпитера на протяжении интервала в 120 суток — от момента, когда планета «восходила» в ночном небе и до «заката».
Также в вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связанно, как полагают некоторые учѐные, с тем, что вавилонская денежная и весовая единица измерения подразделялась в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин. 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян.

Древний Рим

Происхождение римской системы дробей связано с мерой веса, которая называлась «асс». Она делилась на 12 долей. 1/12 «асса» называлась унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел 3 унции пути или прочитал 6 унций книги. Хотя, речь шла не о взвешивании.
oВ наше время иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос» — это значит, что вопрос изучен до конца. Слово «скрупулезно» произошло от римского названия 1/228 «асса» - «скрупулус». Также были и другие названия как «семис» - половина «асса», «секстанс» - шестая его доля, «семиунция» - половина унции. Всего было 18 названий дробей. Для удобства составлялись специальные таблицы, некоторые используют и в наше время.
В Великобритании, США и Канаде применяются фунты, стоуны и унции. Один фунт равен 453,6 грамма. Стоуны используются только для измерения массы тела человека. Один стоун – это, приблизительно, 6,35 кг. или 14 фунтов. Унции используют в кулинарных рецептах, для продуктов в маленьких порциях. Одна унция – это 1/16 фунта или примерно 28,35 кг.

Число 60 было выбрано очень удачно: результаты деления на числа, не содержащие других простых множителей, кроме 2, 3 и 5 выражались конечными шестидесятеричными дробями, что было крайне важно для практических вычислений. Созданная в Древнем Вавилоне система шестидесятеричных дробей была настолько удобна, что уже 200 лет до н. э. была принята греческими астрономами, от последних перешла в европейскую науку и удовлетворяла ее до конца 16 в. Обыкновенные дроби к тому времени получили уже широкое распространение в практической жизни, называясь народными, в то время как шестидесятеричные носили название физических или астрономических. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались и в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд; окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 с. Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии.
Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до 17 века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

Сcылка на файл задания в PDF


Использованные ресурсы:
• https://infourok.ru/issledovatelkya-rabota-natemu-alikvotnie-drobi-368621.html
• https://mathvox.ru/algebra/delimost-drobi-desyatichnie-drobi/glava-1-obiknovennie-drobi-deistviya-s-drobyami/alikvotnie-drobi-i-deistviya-s-nimi/
•https://fb.ru/article/236507/drobi-istoriya-drobey-istoriya-vozniknoveniya-obyiknovennyih-drobey?ysclid=ldr1letoyt403280040
• https://infourok.ru/user/3892154/blog/zarozhdenie-shestidesyaterichnoy-sistemi-schisleniya-127340
• html?ysclid=ldr2bls0i2246939684
• https://nplus1.ru/news/2016/01/29/Babylon