У людей с древних времен была потребность в счёте. Нужно было рассчитывать количество добытой еды. Делить её так, чтобы всем хватило и все были сыты и довольны. Возникала необходимость, например, рассчитывать расстояние от одного города до другого, чтобы понять за какое количество времени его можно преодолеть. Когда люди выполняли измерения они пришли к выводу, что результат измерения не всегда является целым числом. Но так как человечество хотело достичь совершенства, максимальной точности при выполнении своих вычислений, появилась потребность в использовании дробей , то есть деление целого предмета на части.
Само понятие дроби в переводе с латинского означает ломать, раздроблять. На Руси дроби именовались долями, а в первых книгах арифметики - ломаными числами.
Первой дробью, появившейся в жизни людей, была половина, одна вторая от целого числа. Изначально использовались только самые простые дроби. Такие дроби составляли какую-то определённую часть от целого числа. Значительно позже в Греции и Индии стали выделять и другие виды дробей.
В XVI веке, при Иоанне Грозном, на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже — печатные книги о применении математики для разных практических нужд. Это, например, «Книга сошного письма» и «Устав ратных, пушечных и иных дел, касающихся до воинской науки».
Математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. “Книга сошному письму”, содержащая “статью”, посвященную вычислению налога с земельной площади в “сохах”. Для расчетов “сошного письма” применялись русские счеты. Арифметические рукописи XVI в. переписывались и в XVII в. и имели традиционное название “Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки – алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость”.
В 1134 году новгородский монах Кирик написал сочинение «...о том, как узнать человеку числа всех лет». Это самый древний дошедший до нас письменный памятник славянской математики. В своей рукописи Кирик подробно вычисляет,
сколько лет, месяцев, недель и дней прошло от «сотворения мира» до года, в котором он, Кирик, писал свой труд. Главная «священная» книга христиан — библия — дала церковникам основание утверждать, что мир был сотворен богом ровно за 5508 лет до начала нашего летосчисления. Кирик, по-видимому, ошибся в вычислениях, но для истории Руси рукопись Кирика очень важна. Она ясно показывает, что славяне без малого тысячу лет назад отлично владели четырьмя действиями арифметики, свободно обращались с очень большими целыми числами и с очень маленькими дробями. Что усвоение этого умения представляло большие трудности, можно видеть из того, что в немецком языке имеется поговорка: «Попал в дроби». Это про человека, который оказался в трудном положении.
В 1682 году в Москве вышла книга: «Считание удобное, которым всякий человек, купующий и продающий, зело удобно изыскати может число всякия вещи». Это была первая в России не рукописная, а напечатанная в типографии книга по математике, которая должна была помогать решению разных практических задач. Была в ней таблица умножения, записанная славянскими цифрами.
Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем Магницким. «Арифметика» Магницкого была издана при Петре I , в 1703 году, и долгое время была настольной книгой всех образованных русских людей. Великий русский учёный Михаил Васильевич Ломоносов знал её наизусть и называл её вместе с учебником грамматики «вратами своей учёности».
Книга Л.Магницкого называлась «Арифметика», но там были также начала алгебры, геометрии, тригонометрии и даже немного мореходной астрономии. Это была настоящая энциклопедия по математике, в которой каждое правило, каждый приём подробно разъяснялся и подкреплялся решением примеров и практических задач.

Цифирные дроби

В допетровские времена русские пользовались старинным способом счета, который сейчас известен под словом «цифирь». В чем была его особенность?
Цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
Подобные цифири системы счисления не были чем-то редким и исключительным до массового распространения арабских цифр, к таким методам подсчета прибегали в разные времена разные народы. Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и так далее. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста. Цифры большего номинала имели другие, специальные символические изображения в виде дополнительных точек и черточек.
Сложности в освоении цифири начинались уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – это i. Особенность написания цифр от 11 до 19 была в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi ( иначе 1 + 10).
Если в римской системе счисления для обозначения цифр от 1 до 10 и для обозначения целых десятков используются одни и те же буквы, а в цифири система тяготела к тому, чтобы наделить каждую букву прикрепленным к ней значением. Литерой "к" обозначали 20, вышедшая из употребления буква "ѱ" означала 700, а вот, например, "ц" означала 900.
При работе с дробными значениями очень неудобно было выполнять умножение и деление. Также в системе не было нуля, а он играл большую роль в развитии точных наук. В виду этих сложностей при Петре I, начали использовать другую систему, которая использует цифры от 0 до 9, десятичную. Именно этой системой мы пользуемся до сих пор.

Особенности русского речевого названия дробей

В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх. Структуру древнерусских дробей помогает представить деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части.
Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
Одна треть числа — словом «треть».
Одна четверть — словом «четь» или «четверть».
Одна шестая — «полтрети».
Одна восьмая — «полчети» или «полчетверти».
Одна двенадцатая — «полполтрети».
Одна шестнадцатая — «полполчети».
Одна двадцать четвёртая — «полполполтрети».
Одна тридцать вторая — «полполполчети» и т. д.
Так появились понятия: полтрети коробьи, полденьги и другие. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Часто дроби выражались с помощью сложения или вычитания.
Например, 11/24 = треть и полполтрети и полполполтрети(1/3 + 1/12+ 1/24). Или 29/96 = треть без полполполчетверти (1/3 - 1/32).
Рассмотрим вопрос об обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2 1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы).
Таким образом, в древней Руси основными дробями были :

1. "половина","пол"
2. "треть"
3. "четверть" или "четь"
4. "полчети"
5. "полтрети"
6. "полполтрети"

Также в России использовалась земельная мера - четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина "Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики" следующее: "В рукописи XVIIв. "Статия численная о всяких долях указ " начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним".

Сошная арифметика- учение, посвященное землемерию

В XVI-XVII вв. формировалась система податного земельного обложения. Налог взимался в зависимости от количества и качества земельной площади, которую переводили в условные единицы - сохи, по коэффициентам, зависящим не только от качества земли, но и от владельца(для церкви, помещиков, крестьян) измерения земель, их переводом в сохи и вычислением налогов занималось множество специальных чиновников. Для них было составлено особое руководство “ книга мощному письму”. Сохи делились на части по двоичным дробям ½ , а также, исходя из третий, другие части сохи представляли суммами или разностями этих основных дробей.
Сошная арифметика – это система налогового обложения в России, при которой вместе с действиями с целыми числами, надо было производить те же операции и с дробями.
Большой популярностью пользовался «дощаный счёт» – вычисления при помощи прибора, ставшего прообразом русских счётов. «Дощаный счёт» представлял собой доску с несколькими вычислительными полями, где счётные элементы не просто перекладывались по меловым линиям, а скользили по прутьям или шнурам.
Дощаной счет позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Он имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.
В этой системе налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.

Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое; второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и так далее. Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 . На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.

«Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется»
Эта рукопись XVII века представляет собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи.
Сошное письмо возникло на земледельческой необходимости ввести однообразие в податную систему середины XVI века и к тому, что единица измерения, соха, была приноровлена и к потребностям городского обложения. Соха с самого начала была не земельной мерой, а финансовой единицей, выражавшей определённых размеров капитал, с которого московское правительство брало часть процентов в виде подати. В рукописи были представлены таблицы для удобства переводов.
Люди, которые проводили замеры земельных владений в сельской местности и дворов по городам, имели с собой инструкции — «книги сошного письма», которые имели описание русских поземельных мер и давали указания по их применению при замере пашни, а также исчислению окладных единиц с учётом качества земли и категории землевладения.
Особенностями сошной арифметики было то, что дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, для сложения сошных дробей иногда их переводили в другие сошные дроби, это было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности.
Сошная арифметика решала две следующие задачи:
Во-первых, разра­ботка арифметической системы действий с дробями для выполнения вычислительных задач при землемерии,
Во-вторых, устанавливала связь арифметический системы с инструментом, посредством которого можно было рационально вы­полнять необходимые подсчеты.

Практическое значение рукописи

«Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется» имела при познании дробей в древнерусском государстве большое значение. Сошные дроби записывались словами, а не привычными нам цифрами, и использовать их было очень неудобно. Представленная нам древнерусская рукопись представляла собой набор шаблонных комбинаций сложения дробей для получения какой-либо части сохи, где соха принималась за единицу. Эта рукопись также содержала правила для получения частей осьмины, четверика и других.
Эти правила, использовали чиновники для учета земли и начисления налога. В те давние времена в древнерусском государстве рукопись имела большое значение для развития математики и практического использования.
Да, в настоящее время эта рукопись совсем не актуальна, и даже переведенная на современный язык, она не нашла бы свое применение. Однако тогда, в 17 веке, «Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется» была очень своевременной и полезной. Ее значение для развития математики было велико.

Файл с заданием в формате PDF (ссылка)
Сетевой проект "В мире ломанных чисел"(ссылка)
Страница команды "Пять с плюсом" (ссылка)